フレーゲ

01一通の手紙 ― 1902年6月16日

1902年6月16日、ドイツ中部の大学町イェナに、一通の手紙が届いた。受け取ったのは、53歳の数学教師ゴットロープ・フレーゲ。差出人はイギリスの若い数学者、バートランド・ラッセルだった。ラッセルは当時30歳、ケンブリッジにいた。

フレーゲはこのとき、長い年月をかけた本を仕上げようとしていた。『算術の基本法則』の第2巻である。第1巻は1893年に出ていた。第2巻は校了こうりょう、つまり印刷に回す直前だった。

手紙は、まずフレーゲの仕事を心からほめていた。そのあとで、一つの問いを投げかけた。「自分自身を要素として含まない集合の集合」は、自分自身を含むか、含まないか。どちらに答えても矛盾むじゅんが出てしまう。後に「ラッセル・パラドクス」と呼ばれる問いである。

この矛盾は、フレーゲの体系の土台そのものから出てきた。本のいちばん下の柱が、折れていた。

学問を築こうとする者にとって、最も望ましくないことの一つは、仕事がまさに完成しようとするとき、その基礎が崩れ落ちることである

フレーゲは6日後の6月22日に返事を書いた。そして、印刷を止めなかった。なぜ止めなかったのか。なぜ、崩れた土台を隠さず、本の最後に書き足したのか。その答えを知るには、この人の来た道をたどる必要がある。時は54年前、バルト海の小さな港町に戻る。

02ヴィスマルの教師の家

1848年11月8日、フレーゲはヴィスマル(Wismar)に生まれた。バルト海に面した、北ドイツ・メクレンブルクの小さな港町である。父カール・アレクサンダーは、私立の女学校の校長だった。母アウグステは、夫の死後にその学校の運営を引き継いだ。

父は、ドイツ語の文法の教科書を自分で書いた人だった(『ヴィスマル中学校ドイツ語の実用文法』1862)。家の中では、言葉のしくみについての静かな話が日常だった。少年は父の学校で学んだ。父が亡くなったのは1866年、彼が17歳の年である。

中学時代、彼は数学と古典語で抜きん出たぬきんでた成績を残した。卒業のとき、父の後を継いだ校長はこう記した。「この生徒は学問の道に進むだろう」。

1869年春、20歳でイェナ大学に入った。はじめは化学・数学・哲学を並べて学んだ。やがて数学に絞り、ゲッティンゲン大学へ移った。そこでエルンスト・クリスティアン・シェリング(幾何学)、ヴィルヘルム・ウェーバー(物理学)、ロドルフ・リプシッツ(解析学)に学んだ。

1873年12月、25歳で博士号を取った。論文の題は「平面における想像的形象の幾何学的表現」。翌1874年、イェナ大学で教授資格を得た。題は「量概念の拡張に基づく計算法(Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Größenbegriffes gründen)」だった。

言葉のしくみを教える父の家と、数学。二つの流れが、一人の若者の中で出会っていた。彼はイェナへ戻る。そこから44年、この町を動かなくなる。

03イェナ、黒板に向かう独白

1874年、フレーゲはイェナ大学の私講師しこうしになった。私講師とは、大学教員のいちばん最初の身分である。1879年に員外教授いんがいきょうじゅ、1896年に正名誉教授(ordentlicher Honorarprofessor)になった。

1918年に教壇を離れるまで44年間、イェナから一歩も動かず教鞭きょうべんをとり続けた。ドイツの大学教員としては、めずらしいほど異動のない人生だった。

講義はいつも小さかった。受講者は数名、多くても十数名の数学専攻の学生である。ずっと後の1910年から14年、ルドルフ・カルナップという学生が聴講した。のちに論理実証主義という運動を率いる人である。カルナップの回想によれば、講義は「ほとんど聴衆のない、黒板に向かって話す独白」のようだった。それでいて、中身の厳密さと洞察の深さは衝撃的だったという。

私生活は寡黙かもくだった。1887年、38歳でマルガレーテ・リーベルクと結婚した。二人の間に子はなかった。妻は1904年に亡くなる。1908年、妻の甥おいアルフレト・フックスを家に迎え、のちに養子にした。晩年の家庭は、この養子との暮らしだった。フレーゲは熱心なルター派プロテスタントで、政治的には保守的だった。

小さな教室で、黒板に向かって、彼は何を書いていたのか。1879年、その答えの一部が、一冊の薄い本になって現れる。

04『概念記法』1879 ― 論理を図形として書く

1879年、30歳のフレーゲは一冊の本を出した。『概念記法 ― 算術の言語に倣った、純粋思考のための記号言語(Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens)』。わずか88ページの薄い本である。

それまでの論理学は、アリストテレス以来の形を守っていた。「すべての人間は死すべきである」のように、文を主語と述語に分ける形である。フレーゲはこれを、関数と項という数学の形に置き換えた。「2は素数である」を「素数である(2)」と書く。「素数である」が関数、「2」がそこに入る項である。

もう一つの柱が量化子である。「すべての x について」「ある x が存在して」を、式の中の記号として書けるようにした。これで数学の「どんな n でも」「ある数が存在する」という言い回しを、形として調べられるようになった。ここに、現代の述語論理の骨組みがほぼそろっていた。

ただし、この本はほとんど読まれなかった。記法は線が枝分かれする図形のようで、読みづらかった。数学界の主流(クロネッカー、デデキント)からも外れていた。哲学の側も、まだ形式論理に関心を持っていなかった。先を行きすぎた人は、長く一人だった。

論理の書き方は手に入った。では、その論理で何を書くのか。彼が選んだ相手は、いちばん身近で、いちばん謎の深いものだった。数である。

05『算術の基礎』1884 ― 数とは何か

1884年、30代半ばで『算術の基礎(Die Grundlagen der Arithmetik)』を出した。今度は記号ではなく、ふつうのドイツ語で書いた哲学の本である。副題は「数概念についての論理学的・数学的研究」。

問いは一つ。「数とは何か」。当時、答えは三つあった。数は単なる記号だという考え(形式主義)。数は心の中の抽象物だという考え(心理主義)。数は物の集まりから取り出されるという考え(経験主義)。フレーゲは三つとも退けた。

彼の答えは、数は論理の言葉だけで定義できる客観的な対象だ、というものだった。この立場を論理主義(logicism)と呼ぶ。たとえば「2」は、火星の衛星を数えて得た経験ではない。論理だけで組み立てられる対象である。そのくわしい組み立て方は、終盤の章で見る。

この本は後に、分析哲学の学部教材としてもっともよく引かれる一冊になる。だが1884年当時、学界の反応はかぎられ、売れ行きもよくなかった。

言葉で示した設計図を、次は記号で一から組み上げる。その大仕事に入る前に、彼は一つ、言葉そのものの謎に立ち止まった。

06明けの明星と宵の明星 ― 1892年

1892年、43歳のフレーゲは26ページの論文を発表した。題は「意義と意味について(Über Sinn und Bedeutung)」。掲載誌は『哲学と哲学批評誌(Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik)』。20世紀の言語哲学が何度も立ち戻る文書になる。

問いはこうだ。「明けの明星(Morgenstern)」と「宵の明星(Abendstern)」は、どちらも金星を指す。では「明けの明星は宵の明星である」という文は、「金星は金星である」と同じことしか言っていないのか。

そうではない、とフレーゲは答える。二つの名前は、同じ星を指しながら、違う見せ方をしている。指している物そのものを「意味(Bedeutung)」、見せ方を「意義(Sinn)」と呼び分ける。古代バビロニアの人が「二つの星は同じ一つの惑星だ」と気づいたとき、彼らは本当に新しいことを知った。意味は同じでも、二つの意義がつながったからである。

この「意義と意味」の区別は、後に多くの哲学者の共通の出発点になる。その広がりは終盤の章に回す。

この年、彼はすでに大仕事の途中だった。『概念記法』の記号で、『算術の基礎』の考えをすべて書き切る。1893年、『算術の基本法則(Grundgesetze der Arithmetik)』第1巻が出た。第2巻は、あの手紙が届く1902年6月、印刷の直前まで来ていた。

07後書 ― 1902年から1903年へ

6日後の6月22日、フレーゲはラッセルに返事を書いた。「きわめて驚くべきあなたの発見が、私の体系の基礎を揺るがすものであることを、私は今認めざるを得ません」。

彼は第2巻の印刷を止めなかった。代わりに、巻末に後書(Nachwort)を書き足した。1903年、本はそのまま世に出た。

学問を築こうとする者にとって、最も望ましくないことの一つは、仕事がまさに完成しようとするとき、その基礎が崩れ落ちることである。

後書は、ラッセルの指摘を隠さず書いた。直し方の案も出した。そして、その案が十分でないことまで併記へいきした。見つかった欠陥を、彼は一つも隠さなかった。

以後、何年か直しに取り組んだが、根本の解決には届かなかった。第3巻の計画は捨てられた。数を論理だけで作るという夢は、別の人たちに引き継がれる。ラッセルとホワイトヘッドの『プリンキピア・マテマティカ』(1910-13)は、型理論という別の道でその夢を立て直す試みだった。

冒頭の問いに戻ろう。なぜ彼は印刷を止めなかったのか。言葉のしくみを教える父の家、44年動かなかった教室、読まれなかった本。ここまで来た読者には、たぶん自分なりの答えがある。

本が出た年、彼は50代半ば。教壇に残る時間は、あと15年だった。

08晩年 ― 読まれ始めるまで

1918年、69歳でイェナ大学の教壇を離れた(1917年に退官の手続きを進め、1918年の講義をもって退職)。以後はイェナと、メクレンブルクの保養地バート・クライネンを行き来した。書いたのは体系の修理ではなかった。『論理学探究(Logische Untersuchungen)』と題した論集で、「思想(Der Gedanke)」1918、「否定(Die Verneinung)」1918、「合成思想(Gedankengefüge)」1923 などを公表した。「思想とは何か」「真理とは何か」を、もう一度はじめから問い直す文章である。

1925年7月26日、バート・クライネンで亡くなった。76歳。故郷ヴィスマルの墓地に、両親の近くに葬られた。死の直前まで、論理の体系を集合論ではなく幾何学の上に建て直そうとする断片を書いていた。

遺稿と蔵書は養子アルフレトに託された。のちにミュンスター大学の論理学者ハインリヒ・ショルツの手で整理・保管される。1945年、大戦末期の空襲くうしゅうでミュンスターの大学施設が壊れ、遺稿いこうの一部が失われた(写しの一部は疎開していて助かった)。残ったものは戦後、『フレーゲ遺稿集』(1969-76)として公刊された。

生前、フレーゲはほとんど読まれなかった。名前が広まるのは死後である。ラッセル、ウィトゲンシュタインの『論理哲学論考』(1921)の序文、カルナップの本を通じて、少しずつ読まれ始めた。1950年代以降、マイケル・ダメットの研究を経て、「20世紀分析哲学の先駆」という像が広がった。彼自身は、そのどれも知らずに死んだ。

崩れた土台を、彼は最後のページに書いた。あなたなら、完成まぎわの仕事に欠陥を見つけたとき、それを隠さずに書けるだろうか。

09考証 ― 記法・論理主義・意義と意味・受容史

『概念記法』は、現代の述語論理に連なる記法と構造をほぼ完成形で提示した初期の文献である。アリストテレス以来の主語=述語構造を、関数=項(argument-function)の構造に置き換えた。「すべての人間は死すべきである」は「∀x(人間(x)→死すべきである(x))」と書かれる(現代の記号でこう翻訳される、フレーゲ自身の記法は図形的でこれとは異なる)。もう一つの柱が量化(quantification)の導入で、「すべての x について」「ある x が存在して」という限量詞を論理式の中で明示的な変項として扱うことにより、数学の「任意のnに対して」「ある自然数が存在する」という表現を形式的に分析できるようになった。現代の数理論理学・形式意味論・計算機科学の多くの基礎は、ここで示された量化の扱いを引き継いでいる。図形的記法(左右にツリーのように枝分かれする線と縦横の水平線・条件線)は同時代の誰にもほとんど読まれず、フレーゲの先見性はその先進性のゆえに長く孤立した。

『算術の基礎』の核心は、「数とは何か」という問いを論理学に還元できるとする論理主義のプログラムである。フレーゲは形式主義・心理主義・経験主義をすべて批判し、数を対象(Gegenstand)、すなわち論理的に定義可能な客観的な対象として再定式化した。具体的には、数は「概念の外延(Umfang eines Begriffs)」として定義される。「2」は「火星の衛星である」という概念の下に落ちるもの(フォボスとダイモス)を数え上げた経験的な数ではなく、「自分自身と同じ数をもつ概念全体の外延」として、純粋に論理的に構成される。概念と対象(Begriff/Gegenstand)の区別 ― 「飽和されていないもの」と「飽和されたもの」― は、この構成を支える存在論的な柱である。

「意義と意味について」の区別により、「明けの明星 = 宵の明星」という同一性言明が、単なるトートロジー(同じものが同じ)ではなく、認識的価値(認識の進展)をもつことが説明される。この情報は「意味」のレベルでは同一だが「意義」のレベルで異なる提示を結合する認識の出来事として捉えられる。この区別は、後期ウィトゲンシュタインの言語ゲーム、ラッセルの記述理論、後のクリプキ『名指しと必然性』、パトナム『意味の意味』などの議論の共通の出発点となる。現代の自然言語の意味論(モンタギュー文法、可能世界意味論)も、フレーゲの sense/reference 区別を形式化したものとして位置づけられる。

同じ時期、フレーゲはもう一つの大きな論争に踏み込んでいた。1899年、ダーフィト・ヒルベルトが『幾何学の基礎(Grundlagen der Geometrie)』で、公理を「無定義用語を暗黙に定義するもの」として扱う近代的公理論を提示する。フレーゲは1899-1900年の往復書簡と、1903年から1906年にかけての論文「幾何学の基礎について」二部で、この立場を正面から批判した。公理は真であるべき命題であり、整合性は体系の真理性の代わりにはならない、対象は公理によって「定義」されるのではなく独立に与えられる ― フレーゲはそう主張した。論争そのものはヒルベルト流の形式主義が主流となったが、意味論と構文論の関係、独立性証明の解釈などをめぐるこの応酬は、20世紀論理学・数学基礎論の方法論を決める重要な節目となった。

ラッセル・パラドクスは、『算術の基本法則』の第V基本法則(概念の外延の同一性に関する法則)から直接導かれる。つまり、フレーゲの体系はその基礎原理から矛盾を出す。第2巻の後書は、ラッセルからの指摘を正直に明示し、修復の試案(第V法則の弱化)を提示するが、その試案が十分ではないことも併記する。この後書は、20世紀の学問の誠実さを象徴する文書として、今も読まれ続けている。論理主義プログラムの修復は根本的な解決には至らず、『基本法則』第3巻の計画は放棄された。後のラッセル&ホワイトヘッド『プリンキピア・マテマティカ』(1910-13)は、型理論によってパラドクスを回避する別ルートで論理主義を立て直す試みだった。

政治的姿勢については、1924年の政治日記に反民主主義・反ユダヤ主義的記述とヒトラーを含む民族主義勢力への好意的言及が残り、1994年のドイツ語版公刊を機に受容史の中で正面から論じられるようになった。論理学的業績の評価と政治的姿勢の分離は、学界で複雑な課題として現在も検討されている。

受容史の経路は次の通りである。ルドルフ・カルナップは1910-14年のイェナ留学時代にフレーゲの講義に出席し、のちの論理実証主義の主導者となった。ミュンスター大学の論理学者ハインリヒ・ショルツは、フレーゲの直接の受講者ではなかったが、没後に遺稿と蔵書をイェナ大学との協力のもとで引き取り、分析哲学受容の礎となる『フレーゲ遺稿集』編纂の中心を担った。1920-30年代、彼の名前はラッセル(『哲学的諸問題』1912、『プリンキピア・マテマティカ』の序文)、ウィトゲンシュタイン(『論理哲学論考』1921 序文)、カルナップ(『言語の論理的構文論』1934)を介して、次第に分析哲学の参照系の一つとして読まれはじめる。とくに1950年代以降、マイケル・ダメット(『フレーゲ ― 言語の哲学』1973、『フレーゲ ― 数学の哲学』1991)による体系的な解釈を経て、「20世紀分析哲学の先駆」としての像が広がった。ただしこの受容史は死後数十年を経てのものであり、生前の彼自身が知ることはなかった。

10主要な出来事と著作

1. 1848
   ヴィスマルに誕生、父は私立女学校校長でドイツ語文法の著者
2. 1869-73
   イェナ大学、ゲッティンゲン大学で数学を学ぶ、博士号取得
3. 1874
   イェナ大学で教授資格、以後1918年まで44年間イェナに留まる
4. 1879
   『概念記法』― 現代述語論理と量化の起点
5. 1884
   『算術の基礎』― 論理主義プログラムの哲学的基礎
6. 1887
   マルガレーテ・リーベルクと結婚
7. 1891
   「函数と概念」、関数=項の枠組みを精緻化
8. 1892
   「意義と意味について」― 表現の二層(意義と意味)を区別
9. 1893
   『算術の基本法則』第1巻
10. 1899-1906
    ヒルベルトとの往復書簡と論文「幾何学の基礎について」二部 ― 公理の意味をめぐる論争
11. 1902年6月16日
    ラッセルから集合論パラドクスの指摘書簡
12. 1903
    『算術の基本法則』第2巻、後書でラッセル・パラドクスを明示
13. 1904
    妻マルガレーテ死去
14. 1910-14頃
    カルナップがイェナで講義に出席。ウィトゲンシュタインは1911年夏イェナを訪問しラッセルへ紹介される
15. 1917-1918
    イェナ大学を退官し教壇を離れる、69歳
16. 1918-23
    『論理学探究』論集(「思想」1918/「否定」1918/「合成思想」1923)
17. 1924
    政治日記(反民主主義・反ユダヤ主義・ヒトラー支持の記述を含む)― 1994年公刊で受容史に論点化
18. 1925年7月26日
    バート・クライネンで死去、76歳
19. 1969-76
    遺稿集公刊、分析哲学の古典として再評価

残した思想の輪郭

• 概念記法 ― 現代述語論理・量化子の記法の創始、すべての数理論理学・計算機科学の基礎
• 論理主義(logicism) ― 数を論理的に定義しきろうとするプログラム、ラッセル・ホワイトヘッド『プリンキピア・マテマティカ』の前提
• 意義と意味の区別(Sinn/Bedeutung) ― 表現の「提示の仕方」と「指示対象」の二層、20世紀言語哲学の原理的区別
• 概念と対象(Begriff/Gegenstand) ― 関数=項の構造、「飽和されたもの」と「飽和されていないもの」の存在論的区別
• 思想(Gedanke) ― 心理状態でも言語記号でもない、真偽を担う客観的な第三領域(「第三の国」)
• 誠実な後書 ― 完成直前に基礎が崩れた体系を、隠さず明示し、次世代に引き渡した学問の倫理の像