フレーゲ

01ヴィスマルの教師の家 ― 数学と言語の二面

1848年11月8日、バルト海沿岸の小さな港町ヴィスマル(Wismar、メクレンブルク)に生まれた。父カール・アレクサンダー・フレーゲは私立女学校の校長で、母アウグステは夫の死後、学校の運営を引き継いだ。父はドイツ語文法の教科書を自ら執筆し(『ヴィスマル中学校ドイツ語の実用文法』1862)、家庭では言語の構造に関する静かな議論が日常だった。少年ゴットロープは、父の死(1866、彼が17歳の年)まで、父の学校で学んだ。

ヴィスマルの中学時代、彼は数学と古典語に抜きん出たぬきんでた成績を示した。卒業の言葉で校長(父の後継者)は「この生徒は学問の道に進むだろう」と記した。1869年春、イェナ大学に入学。当初は化学・数学・哲学を並行して学んだが、やがて数学に集中し、ゲッティンゲン大学に移ってエルンスト・クリスティアン・シェリング(幾何学)、ヴィルヘルム・ウェーバー(物理学)、ロドルフ・リプシッツ(解析学)らのもとで学んだ。1873年12月、ゲッティンゲン大学で「平面における想像的形象の幾何学的表現」で博士号を取得、1874年にイェナ大学で「量概念の拡張に基づく計算法(Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Größenbegriffes gründen)」により教授資格を得た。

02イェナ大学、数学教師としての生涯

1874年、フレーゲはイェナ大学の私講師となった。以後、1918年に教職を離れるまで44年間、イェナから一歩も動かず教鞭きょうべんをとり続けた。1879年員外教授いんがいきょうじゅ、1896年に正名誉教授(ordentlicher Honorarprofessor)。ドイツの大学教員としては異例なほど大学間の異動がなかった。

イェナ大学での彼の講義は、当時の学生数からみて常に小さかった。受講者は典型的には数名、多くても十数名の数学専攻生である。ルドルフ・カルナップは1910-14年のイェナ留学時代にフレーゲの講義に出席し、のちの論理実証主義の主導者となった。カルナップ自身の回想によれば、フレーゲの講義は「ほとんど聴衆のない、黒板に向かって話す独白」のようでありながら、内容の厳密さと洞察の深さは衝撃的だった。ミュンスター大学の論理学者ハインリヒ・ショルツは、フレーゲの直接の受講者ではなかったが、没後に遺稿と蔵書をイェナ大学との協力のもとで引き取り、分析哲学受容の礎となる『フレーゲ遺稿集』編纂の中心を担った。

私生活は寡黙かもくで、1887年にマルガレーテ・リーベルクと結婚した。二人の間に実子はなく、1908年妻の甥アルフレト・フックス(後に養子にとる)を家に迎えた。妻は1904年に死去、以後の晩年は養子アルフレトとの家庭だった。フレーゲは熱心なルター派プロテスタントで、政治的には保守的だった(1924年の政治日記には反民主主義・反ユダヤ主義的記述とヒトラーを含む民族主義勢力への好意的言及が残り、1994年のドイツ語版公刊を機に受容史の中で正面から論じられるようになった ― 論理学的業績の評価と政治的姿勢の分離は、学界で複雑な課題として現在も検討されている)。

03『概念記法』1879 ― 論理を図形として書く

1879年、フレーゲは『概念記法 ― 算術の言語に倣った、純粋思考のための記号言語(Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens)』を刊行した。わずか88ページの薄い本だった。

この本は、現代の述語論理に連なる記法と構造をほぼ完成形で提示した初期の文献である。それまでの論理学は、アリストテレス以来の主語=述語構造(「すべての人間は死すべきである」)を基本枠組みとしていた。フレーゲはこの枠組みを関数=項(argument-function)の構造に置き換えた。「2は素数である」は「素数である(2)」と表記され、「すべての人間は死すべきである」は「∀x(人間(x)→死すべきである(x))」と書かれる(現代の記号でこう翻訳される、フレーゲ自身の記法は図形的でこれとは異なる)。

もう一つの柱が量化(quantification)の導入である。「すべての x について」「ある x が存在して」という限量詞を、論理式の中で明示的な変項として扱うことにより、数学の「任意のnに対して」「ある自然数が存在する」という表現を、形式的に分析できるようになった。現代の数理論理学・形式意味論・計算機科学の多くの基礎は、ここで示された量化の扱いを引き継いでいる。

ただし『概念記法』の図形的記法(左右にツリーのように枝分かれする線と縦横の水平線・条件線)は、同時代の誰にもほとんど読まれなかった。記法が難解だったこと、数学界の主流(クロネッカー、デデキント)から外れていたこと、哲学界がまだ形式論理に関心を持たなかったこと ― フレーゲの先見性は、その先進性のゆえに長く孤立した。

04『算術の基礎』1884 ― 数とは何か

1884年、フレーゲは『算術の基礎(Die Grundlagen der Arithmetik)』を刊行した。これは記号言語ではなく通常のドイツ語で書かれた哲学的著作で、副題は「数概念についての論理学的・数学的研究」。

本書の核心は、「数とは何か」という問いを論理学に還元できるとする論理主義(logicism)のプログラムである。フレーゲは同時代の三つの数概念理解 ― 形式主義(数は単なる記号)、心理主義(数は心の中の抽象物)、経験主義(数は物の集まりから抽象される)― をすべて批判し、数を対象(Gegenstand)、すなわち論理的に定義可能な客観的な対象として再定式化した。

具体的には、数は「概念の外延(Umfang eines Begriffs)」として定義される。たとえば「2」は「火星の衛星である」という概念の下に落ちるもの(フォボスとダイモス)を数え上げた経験的な数ではなく、「自分自身と同じ数をもつ概念全体の外延」として、純粋に論理的に構成される。このプログラムを厳密に展開したのが、次の『算術の基本法則』二巻である。

『算術の基礎』は哲学論考として比較的読みやすく、20世紀後半以降、分析哲学の学部教材としてもっとも引用される一冊となった。しかし刊行時の1884年、学界の反応は限定的で、商業的にも成功とはいえなかった。

051892年「意義と意味について」 ― 意味の二つの層

1892年、フレーゲは論文「意義と意味について(Über Sinn und Bedeutung)」を『哲学と哲学批評誌(Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik)』に発表した。わずか26ページの論文で、20世紀の言語哲学がたびたび立ち戻る文書となった。

彼はここで、表現の意味を二層に分ける。

• 意義(Sinn) ― 表現が対象をどう提示しているか、認識者にとっての見え方。「明けの明星(Morgenstern)」と「宵の明星(Abendstern)」は、同じ惑星金星を異なる仕方で提示している。
• 意味(Bedeutung) ― 表現が指す対象そのもの。「明けの明星」と「宵の明星」の意味(指示対象)はどちらも金星で、同一である。

この区別により、「明けの明星 = 宵の明星」という同一性言明が、単なるトートロジー(同じものが同じ)ではなく、認識的価値(認識の進展)をもつことが説明される。古代バビロニア人が二つの星が同一の惑星だと気づいた瞬間、彼らは新しい情報を得た ― この情報は「意味」のレベルでは同一だが「意義」のレベルで異なる提示を結合する認識の出来事として捉えられる。

この区別は、後期ウィトゲンシュタインの言語ゲーム、ラッセルの記述理論、後のクリプキ『名指しと必然性』、パトナム『意味の意味』などの議論の共通の出発点となる。現代の自然言語の意味論(モンタギュー文法、可能世界意味論)も、フレーゲの sense/reference 区別を形式化したものとして位置づけられる。

同じ時期、フレーゲはもう一つの大きな論争に踏み込んでいた。1899年、ダーフィト・ヒルベルトが『幾何学の基礎(Grundlagen der Geometrie)』で、公理を「無定義用語を暗黙に定義するもの」として扱う近代的公理論を提示する。フレーゲは1899-1900年の往復書簡と、1903年から1906年にかけての論文「幾何学の基礎について」二部で、この立場を正面から批判した。公理は真であるべき命題であり、整合性は体系の真理性の代わりにはならない、対象は公理によって「定義」されるのではなく独立に与えられる ― フレーゲはそう主張した。論争そのものはヒルベルト流の形式主義が主流となったが、意味論と構文論の関係、独立性証明の解釈などをめぐるこの応酬は、20世紀論理学・数学基礎論の方法論を決める重要な節目となった。

061902年6月16日 ― ラッセルからの書簡

1893年、フレーゲは『算術の基本法則(Grundgesetze der Arithmetik)』第1巻を刊行した。『概念記法』の記号言語で、『算術の基礎』の論理主義プログラムを全面的に展開した、畢生ひっせいの体系である。1903年に第2巻を刊行予定(校了こうりょう直前)だった。

1902年6月16日、イギリスの若い数学者バートランド・ラッセル(当時30歳、ケンブリッジ)から一通の書簡が届いた。ラッセルは敬意を込めてフレーゲの仕事を絶賛した後、一つのパラドクスを指摘した ― 「自分自身を要素として含まない集合の集合」は、自分自身を含むか、含まないか? どちらに答えても矛盾むじゅんが生じる(後のラッセル・パラドクス)。

このパラドクスは、『算術の基本法則』の第V基本法則(概念の外延の同一性に関する法則)から直接導かれる。つまり、フレーゲの体系はその基礎原理から矛盾を出す。すでに校了直前だった第2巻は、この一通の手紙で基礎が崩れていた。

フレーゲは1902年6月22日、わずか6日後にラッセルへ返信した。「きわめて驚くべきあなたの発見が、私の体系の基礎を揺るがすものであることを、私は今認めざるを得ません」。そして第2巻の刊行を止めず、巻末に後書(Nachwort)を付け加えた。

学問を築こうとする者にとって、最も望ましくないことの一つは、仕事がまさに完成しようとするとき、その基礎が崩れ落ちることである。

後書は、ラッセルからの指摘を正直に明示し、修復の試案(第V法則の弱化)を提示するが、その試案が十分ではないことも併記へいきする。フレーゲは発見された欠陥を隠さなかった。この後書は、20世紀の学問の誠実さを象徴する文書として、今も読まれ続けている。

以後、フレーゲは論理主義プログラムの修復に何年か取り組んだが、根本的な解決には至らなかった。『基本法則』第3巻の計画は放棄された。後のラッセル&ホワイトヘッド『プリンキピア・マテマティカ』(1910-13)は、型理論によってパラドクスを回避する別ルートで論理主義を立て直す試みだった。

07晩年の断片、1925年の死 ― 後の分析哲学への受容

1918年、69歳でイェナ大学の教壇を離れた(1917年に正式な退官手続きを進め、1918年の講義をもって退職)。以後彼は大学のあるイェナと、メクレンブルク内陸の保養地バート・クライネンを往復しながら、『論理学探究(Logische Untersuchungen)』と題した論集(「思想(Der Gedanke)」1918、「否定(Die Verneinung)」1918、「合成思想(Gedankengefüge)」1923 ほか)を公表した。これらは体系の修復ではなく、「思想とは何か」「真理とは何か」を改めて問い直す哲学的省察である。

1925年7月26日、バート・クライネンで死去した。76歳。故郷ヴィスマルの墓地に、両親の近くに埋葬された。『算術の基本法則』第3巻の構想は未完に終わり、死の直前まで、論理体系を集合論ではなく幾何学の上に再構築する試みの断片を残していた。養子アルフレトに託された遺稿と蔵書は、その後ミュンスター大学の論理学者ハインリヒ・ショルツの手で整理・保管された(フレーゲ自身はショルツの直接の師ではない)。1945年、第二次大戦末期の空襲くうしゅうでミュンスターの大学施設が破壊され、遺稿いこうの一部は失われた(写しの一部は疎開していて難を逃れた)。残った遺稿は戦後に公刊された(『フレーゲ遺稿集』1969-76)。

生前のフレーゲはほとんど読まれなかった。1920-30年代、彼の名前はラッセル(『哲学的諸問題』1912、『プリンキピア・マテマティカ』の序文)、ウィトゲンシュタイン(『論理哲学論考』1921 序文)、カルナップ(『言語の論理的構文論』1934)を介して、次第に分析哲学の参照系の一つとして読まれはじめる。とくに1950年代以降、マイケル・ダメット(『フレーゲ ― 言語の哲学』1973、『フレーゲ ― 数学の哲学』1991)による体系的な解釈を経て、「20世紀分析哲学の先駆」としての像が広がった。ただしこの受容史は死後数十年を経てのものであり、生前の彼自身が知ることはなかった。

08主要な出来事と著作

1. 1848
   ヴィスマルに誕生、父は私立女学校校長でドイツ語文法の著者
2. 1869-73
   イェナ大学、ゲッティンゲン大学で数学を学ぶ、博士号取得
3. 1874
   イェナ大学で教授資格、以後1918年まで44年間イェナに留まる
4. 1879
   『概念記法』― 現代述語論理と量化の起点
5. 1884
   『算術の基礎』― 論理主義プログラムの哲学的基礎
6. 1887
   マルガレーテ・リーベルクと結婚
7. 1891
   「函数と概念」、関数=項の枠組みを精緻化
8. 1892
   「意義と意味について」― 表現の二層(意義と意味)を区別
9. 1893
   『算術の基本法則』第1巻
10. 1899-1906
    ヒルベルトとの往復書簡と論文「幾何学の基礎について」二部 ― 公理の意味をめぐる論争
11. 1902年6月16日
    ラッセルから集合論パラドクスの指摘書簡
12. 1903
    『算術の基本法則』第2巻、後書でラッセル・パラドクスを明示
13. 1904
    妻マルガレーテ死去
14. 1910-14頃
    カルナップがイェナで講義に出席。ウィトゲンシュタインは1911年夏イェナを訪問しラッセルへ紹介される
15. 1917-1918
    イェナ大学を退官し教壇を離れる、69歳
16. 1918-23
    『論理学探究』論集(「思想」1918/「否定」1918/「合成思想」1923)
17. 1924
    政治日記(反民主主義・反ユダヤ主義・ヒトラー支持の記述を含む)― 1994年公刊で受容史に論点化
18. 1925年7月26日
    バート・クライネンで死去、76歳
19. 1969-76
    遺稿集公刊、分析哲学の古典として再評価

残した思想の輪郭

• 概念記法 ― 現代述語論理・量化子の記法の創始、すべての数理論理学・計算機科学の基礎
• 論理主義(logicism) ― 数を論理的に定義しきろうとするプログラム、ラッセル・ホワイトヘッド『プリンキピア・マテマティカ』の前提
• 意義と意味の区別(Sinn/Bedeutung) ― 表現の「提示の仕方」と「指示対象」の二層、20世紀言語哲学の原理的区別
• 概念と対象(Begriff/Gegenstand) ― 関数=項の構造、「飽和されたもの」と「飽和されていないもの」の存在論的区別
• 思想(Gedanke) ― 心理状態でも言語記号でもない、真偽を担う客観的な第三領域(「第三の国」)
• 誠実な後書 ― 完成直前に基礎が崩れた体系を、隠さず明示し、次世代に引き渡した学問の倫理の像